具身变换（Embodied Transform, ET）将传统欧氏 DSP 操作升至流形： 卷积沿测地线积分（而非直线），滤波在 Laplace-Beltrami 特征空间完成。 核心运算：$(\text{ET}_\sigma f)(x) = \int_{\mathcal{M}} k_\sigma(d_g(x,y))\, f(y)\, d\mu_g(y)$， 其中 $k_\sigma$ 是热核 $k_\sigma(r) = e^{-r^2/(4\sigma)}$。
ET 算子配置
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原始信号 f(x) vs ET 输出 (ET_σ f)(x)
蓝线 = 原始信号，绿线 = 具身变换后信号。变换沿流形测地线扩散，非欧氏平移。
热核 k_σ(d_g) — 以节点 0 为中心
热核随测地线距离指数衰减：k_σ(r) = exp(−r²/4σ)。 σ 越大，卷积窗口越宽（低通），σ → 0 趋近 Delta 函数（高通保留）。
谱域表示：信号谱系数 f̂(λᵢ) 与热核滤波响应 exp(−λᵢσ)
蓝条 = 信号谱系数 |f̂(λᵢ)|，橙线 = 热核滤波响应 exp(−λᵢσ)（低频通过，高频抑制）。 ET 在谱域等价于逐点相乘：ET_σ f 的谱 = exp(−λᵢσ) · f̂(λᵢ)。
σ 扫描：不同扩散尺度下的 ET 输出
从 σ = 0.1（锐利）到 σ = 5.0（平滑），颜色由蓝 → 红渐变。ET 提供连续多尺度分析。
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信噪比提升 (dB)
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平滑度 (Dirichlet 能量)
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有效保留模态数